Волшебный двурог - Страница 76

— Да, конечно.

— А ты никогда не думал, — продолжал его наставник, — нельзя ли с помощью формул определить также вид или форму какой-нибудь линии?

— Не знаю, — ответил Илюша. — Я не совсем понимаю: как это так определить форму? В каком смысле?

— Вот, например, так. Ты, конечно, знаешь, что такое прямая? Попробуй определи мне прямую как геометрическое место.

— Ну, это нетрудно, — отвечал Илюша. — Вот, например, биссектриса. Она прямая, и вместе с тем она есть геометрическое место точек, лежащих внутри данного угла и равноотстоящих от двух его сторон.

— А если рассматривать окружность?

— Окружность есть геометрическое место точек, равноотстоящих от центра, то есть от данной точки.

— Правильно! Но вот ты видишь, что эти два определения дают тебе две линии различной формы. Следовательно, при помощи старинного понятия геометрического места ты можешь определять кривые, различные по форме. Так как на свете очень много кривых линий, а прямая только одна, то мы ее тоже будем причислять к кривым, а потом выясним, как выделить ее из них. Ты узнаешь далее, почему люди так заинтересовались определением именно формы кривых. Но вот еще что: давай нарисуем прямой угол и проведем его биссектрису.

Илюша нарисовал.

— Будем теперь рассматривать этот чертеж как диаграмму, или график. Разделим обе стороны угла на равные промежутки и дадим делениям номера по порядку.

Илюша сделал и это.

— Теперь посмотрим, как расположена относительно сторон угла биссектриса. Когда на горизонтальной стороне мы найдем четвертую точку деления и восстановим из нее пер-

— 225 —

пендикуляр, то он пересечет биссектрису в точке, которая по вертикальной стороне прямого угла соответствует…

— Тоже четвертому делению, — сказал Илюша. — Да ведь так и должно быть, потому что это биссектриса и обе стороны угла расположены симметрично по отношению к биссектрисе. По-моему так!

— Верно, — отвечал Радикс. — Но если так, значит, деления на сторонах угла позволяют нам определить положение точки внутри угла с помощью двух чисел, выражающих расстояния точки от сторон угла. Раз мы это выяснили, то тем самым мы сделали первый шаг к формулам, потому что формулы относятся именно к числам. Эти два числа называются координатами точки. Расстояние от вершины угла до основания перпендикуляра, опущенного на горизонтальную сторону угла, обычно обозначают буквой х и называют абсциссой точки. Горизонтальную сторону угла называют при этом осью иксов, или осью абсцисс. Другую сторону угла называют осью ординат, или осью игреков. Вторую координату точки — ее расстояние от оси абсцисс — обозначают буквой у, называя это число ординатой точки. Ось иксов и ось игреков называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Очевидно, что для точки, лежащей в начале координат, и х и у равны нулю. Если двигать точку вправо, то значение х будет увеличиваться, а если ты будешь двигаться вверх, то будет расти значение у.

— Ясно. Если я пойду в левую сторону от оси ординат, то мне уже придется значения х считать отрицательными, а если пойду вниз, ниже осп абсцисс, то там надо значения у считать отрицательными.

— Совершенно верно. Теперь ты сможешь определить положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Ну, а теперь подумаем, нельзя ли нам как-нибудь записать с помощью формулы то свойство биссектрисы, о котором мы только что говорили. Какую бы точку ни взять на биссектрисе, для нее длины перпендикуляров, опущенных на обе стороны угла, должны быть равны…

— 226 —

— То есть абсцисса и ордината всякой точки на биссектрисе равны между собой! — воскликнул Илюша. — Это я понимаю, но как же это записать, если абсцисса и ордината могут принимать какие угодно числовые значения? Когда, например, х равен единице, то и у должен равняться единице; когда х равен двум, то и у равен двум…

Илюша внимательно посмотрел на чертеж, потом на своего друга, немного поколебался и написал:

у = х.

— Правильно! — сказал Радикс. — Если ты будешь искать на плоскости те точки, координаты которых удовлетворяют этому условию, то ты как раз и получишь твою биссектрису.

Мы будем называть такие равенства, переводящие свойства геометрических образов на алгебраический язык, уравнениями кривых. Такие уравнения определяют положение точек по отношению к выбранным координатным осям. Кстати сказать, угол между осями необязательно нужно брать прямой. Вообще можно определять положение точки на плоскости и другими способами, то есть можно применять, как говорят, различные системы координат. Некоторые элементы такого рода системы употреблялись еще в Древней Греции, у Аполлония Пергейского (эллинистическая эпоха, время Архимеда). А у нас здесь самая простая система прямоугольных координат на плоскости. Она потому так называется, что угол между осями прямой. Их называют также декартовыми, по имени замечательного француза, крупнейшего математика и философа Ренэ Декарта, жившего в семнадцатом веке, который впервые ввел их в науку. Их называют еще картезианскими, ибо ведь в то время уче-

— 227 —

ные сочинения писали по-латыни и имена авторов тоже переделывали на латинский лад, а по-латыни Декарт называл себя Картезием. Однако надо тебе знать, что впервые метод координат был предложен тем самым удивительным математиком Пьером Ферма, с чьей замечательной теоремой ты недавно познакомился. Это было в тридцатых годах семнадцатого столетия, хотя некоторые схожие с этим методом приемы были известны еще древним. Ферма много и плодотворно занимался вопросом о значении понятия геометрического места, и вот в результате этих его размышлений и опытов родился на белый свет метод координат. В одной из своих работ великий французский геометр говорил, что он придумал этот метод специально для изучения вопроса о геометрических местах и что он уверен, что благодаря этому новому способу анализа изучение этой отрасли геометрии станет для всех доступным. Теперь мы можем хорошо оценить, какова была тонкая проницательность этого гениального ума. Действительно, Ферма, а за ним и Декарт придали учению о геометрических местах такую простоту и ясность, что этот очень мощный метод мог быть применен целым рядом ученых к труднейшим задачам с великой пользой для дела. Некоторые историки полагают, что во всем этом интереснейшем и полезнейшем перерождении математики ученым очень помогло то, что Декарт ввел в употребление метод графиков, таких, какие мы сейчас рассматривали. И этот наглядный способ очень помог ученым в их новых рассуждениях. Вслед за Декартом над той же задачей работал Исаак Ньютон, исследуя очень сложные кривые, и в его работах все основные трудности нового метода уже были преодолены. Самое замечательное следствие этих плодотворных работ Ферма, Декарта и Ньютона заключается в том, что благодаря им в математике удалось объединить и обобщить целый ряд различных сведений из геометрии, а вслед за этим привести их и в некоторую вполне стройную систему. Кстати сказать, именно Декарт стал обозначать переменные величины последними буквами латинского алфавита: х, у, z.