Волшебный двурог - Страница 77

— 228 —

— Меня немного удивляет, — произнес в ответ Илюша, — что ты так много говоришь о системах. Мне кажется, что самое важное в математике — это уметь решить какую-нибудь задачу или, скажем, целый ряд каких-нибудь похожих друг на друга задач. Разве это не так?

— Почему не так? — возразил Радикс. — Конечно, это так, но я говорил о том, что когда ты решаешь целый ряд схожих между собой задач, то имеет смысл собрать воедино все способы их решения, а затем рассмотреть, что в них есть общего и чем они друг с другом связаны. В других случаях ты берешь какой-нибудь один способ решения задач и рассматриваешь, какого рода задачи можно при его помощи решать. При этом ты нередко находишь связующие нити между задачами различного рода, и тем самым они объединяются. Постепенно путем таких объединений и обобщений строится общая теория. Вот что я имел в виду… А теперь посмотрим, что получится на чертеже, если мы вместо у = х напишем такое уравнение:

у = 2х.

Давай иксу различные значения, начиная с нуля, и следи, что будет происходить с игреком. А потом нарисуй, что у тебя получится.

Илюша составил табличку.

x | 0 1 2 3 4 5

y | 0 2 4 6 8 10

Когда он попробовал нанести точки на график и соединить их, то у него получилась снова прямая, но только теперь она не была уже биссектрисой, а шла гораздо ближе к вертикальной оси, как это показывает рисунок на странице 228.

— Опять прямая, — сказал Радикс, — только она наклонена по отношению к оси абсцисс под другим углом. Изменив коэффициент у икса в уравнении, ты изменил наклон прямой. Значит, этот коэффициент определяет наклон прямой. Ясно?

— Как будто ясно. Если увеличить коэффициент, то она будет еще скорее подниматься.

— И поэтому этот коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. Ну, а теперь, — продолжал Радикс, — давай прибавим к правой части уравнения постоянную величину, например «три».

Илюша написал уравнение, а затем составил табличку:

у = 3 + 2х.

— 229 —

Когда теперь он нарисовал две последние прямые, то оказалось, что вторая прямая идет параллельно первой, но всюду проходит выше ее на три деления, как на рисунке на стр. 228.

— Ну вот, — заключил Радикс, — ты получил две параллельные прямые. Значит, по уравнению прямой ты очень легко можешь судить о том, как она расположена. Коэффициент этих прямых определяет наклон прямой, а свободный член говорит о том, выше или ниже прямая расположена. Теперь продолжим оси. Ось иксов продолжим влево за нуль; там мы будем наносить, как уже ты сказал, отрицательные значения х. Ось игреков продолжим ниже нуля, и там мы будем наносить отрицательные значения у. Теперь вот что: дадим у значение нуль в уравнении

у = 2 + х.

Илюша написал:

2 + х = 0.

— Ну, чему равен икс? Это ведь уравнение первой степени.

— Икс равен минус два.

— Справедливо. А что это будет обозначать на графике?

Илюша составил табличку, потом график; взял линейку и продолжил прямую влево за ось игреков. Оказалось, что прямая пересекла ось иксов как раз в точке — 2.

— Как интересно, сказал Илюша.— Значит, этим способом можно решать уравнения?

— Да, это графический способ решения уравнений. И он чрезвычайно полезен, когда дело идет об очень кропотливом решении уравнений высших степеней. Таким образом, ты видишь, что с геометрической точки зрения корень уравнения есть не что иное, как абсцисса точки пересечения

—230—

кривой с осью абсцисс.

— Слушай-ка, — сказал Илюша, — а что получится, если мы возьмем квадратное уравнение?

— Давай попробуем. Пиши:

y = x — x — 2

Теперь подставляй значения икса. Начнем с минус четыре и дойдем до плюс четыре.

Илюша составил табличку и нанес точки на график.

— Когда будешь соединять точки, — сказал Радикс, — имей в виду, что это не ломаная кривая, она гнется очень плавно.

Илюша нарисовал кривую. Получилась дуга, открытая сверху и симметричная, как на рисунке (стр. 232).

— А ну-ка, напиши вместо игрека нуль и реши уравнение!

Илюша получил два корня: —1 и +2. Когда он взглянул на график, то убедился, что его кривая как раз и пересекает ось иксов в этих точках —1 и +2.

— Вот как хорошо! — сказал Илюша. — И как просто!

А что получится на чертеже, если под корнем будет отрицательная величина?

— То есть если квадратное уравнение имеет комплексные корни? Тогда кривая будет на графике вся находиться или ниже или выше оси иксов…

— Вот как удобно! Начертил — и готово. И все видно.

— Ясно! — отвечал, посмеиваясь, Радикс. — Ну, а теперь пойдем к моим друзьям. Это премилые старички. Они, правда, большие чудаки, но ты уж не удивляйся. Да, вот еще…

Радикс взял Илюшу за руку и остановился.

— Ты должен еще запомнить, — добавил задумчиво Радикс, — что Ренэ Декарт был одним из самых замечательных мыслителей нового времени. Его влияние на умы образованного мира было огромно и необыкновенно глубоко. Многие его мысли имели решающее значение для развития человеческого общества, а некоторые и поныне не утратили этого значения для каждого из нас. Суровый, трезвый и прямодушный мыслитель, он заставил человека размышлять над собой и своей мыслью, исследовать то, о чем ты мыслишь, и то, в чем сомне—