Волшебный двурог - Страница 75

Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере. Однако смысл

— 222 —

всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание — длину дужки — на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2πr, на половину радиуса, и получится выражение для площади круга — πr. Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l, то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, — промолвил в заключение Радикс, — можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке…

— В порядке! Ха-ха-ха! — раздалось откуда-то из-под облаков страшное громыхание плюшевого Мишки-великана.

— Хм!.. — грустно заметил Радикс. — Он, кажется, еще сомневается, все ли ты уразумел?

— Н-не знаю… — неуверенно признался Илюша.

— А не попробовать ли нам сначала? — крикнул Мишка.

— Давай попробуем! — робко сказал Илюша.

И снова вдруг сбежались знакомые человечки, составили формулу, опять Мишка стал маленьким и мирно сидел на тулье цилиндра, но справа появилось много человечков-малюток:

— 223 —

S = a (q — 1) / (q — 1) — a / (q — 1) = a + a + a + … a

— Ну? — вопросительно заявил Мишка.

Мгновенно человечки справа исчезли все, кроме первого, у которого на груди появилась цифра «1». Немедленно в лапке Мишки тоже оказалась единица, а на груди у тощей Суммы появилась та же самая единица.

— Вперед, друзья! — энергично скомандовал Мишка.

Сейчас же вслед за первым человечком появился второй, у которого на груди было число «½», в лапке Мишки оказалась уже двойка, а на груди у Суммы появилось не «1», а «1½». Затем появился третий человечек, имя которого было «¼», и Мишка показал своей лапкой, что это номер третий, а Сумма сложила все три члена, и вышло 1¾. Появился еще новый член прогрессии, его звали «1/8». Мишка засвидетельствовал, что это был четвертый номер, а Сумма заявила, что теперь всего выходит 1 /. Все было правильно, как заметил Илюша. Затем человечки стали появляться все дальше и дальше, быстро и равномерно выпрыгивая на сцену и мелькая один за другим. Казалось, будто прямо перед тобой проходит лента кинокартины и все понемножку меняется, точно толчками. А вместе с тем все быстрее мелькали номера у Мишки в лапке и менялось число на груди у Суммы. Но самое интересное заключалось в том, что человечки, что ни дальше, стали появляться все скорей и скорей, и наконец глаз почти перестал замечать эти толчкообразные изменения картины, а просто казалось, что длинная-предлинная вереница членов прогрессии все удлиняется и удлиняется. А дальше уже стало казаться, что просто куда-то очень-очень далеко вправо растет длинненькая тоненькая ниточка, и уж нельзя было разобрать, что она состоит из человечков, которых делается все больше и больше… Наконец Мишка взмахнул лапкой и сказал: «Всё!»

Сумма с облегчением вздохнула. На груди ее красовалась цифра «2».

Илюша засмеялся.

— А теперь, — сказал он, — обязательно расскажи мне про бочки, про Великого Механика, про яблоки и веретена и вообще…

— Постой, постой! — сказал Радикс. — Не все сразу! Я должен указать еще тебе, наконец, — и прошу это запомнить всерьез и как следует! — что эта картина приближения к пределу не является единственным объяснением явления предела, есть и другие, не менее, а даже более важные. Но она сравнительно проста и для нас с тобой вполне удовлетворительна. А теперь мне нужно задать тебе еще два-три вопросика,

— 224 —

а потом мы пойдем с тобой в гости к двум моим приятелям, которые нас угостят, накормят и напоят чудным кваском. Скажи, пожалуйста: тебе никогда не приходило в голову, для чего применяются в геометрии формулы?

— Чтобы вычислить что-нибудь, ну, например, длину какого-нибудь отрезка или площадь какой-нибудь фигуры…

— Ты говоришь мне о том применении формул в геометрии, с которым тебе до сих пор приходилось иметь дело. Это естественно. Геометрия ведь и родилась из задач по измерению земли, как указывает ее название. Но ведь, кроме размеров фигуры, нас может интересовать и ее форма. Не правда ли?