Волшебный двурог - Страница 148

148

Тут Радикс продекламировал такой стишок:

Вдоль по плоскости кривая
Очень правильно бежит,
Ось абсцисс пересекая,
Где корням быть надлежит!

— Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит! — поддакнул Мнимий.

Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:

Как-нибудь уж, в самом деле,
Разберемся еле-еле
И рассмотрим все точь-в-точь,
Если нам синьор Бомбелли Догадается помочь…

И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:

— Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их к новым исследованиям. И когда через некоторое время Виета обнаружил, что «неприводимый» случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые. Любопытно, что в те времена были уверены, что

— 440 —

Виета открыл что-то совершенно новое, хотя на самом деле в решении Виеты новыми были только подстановки.

— Но я не знаю, как у Виеты получилось с трисекцией угла и с тригонометрическим решением.

— Неужто? — удивился Радикс. — Так сейчас узнаешь! Виета напал на счастливую мысль привлечь к вопросу о решении кубического уравнения тригонометрические функции. Мы как будто в прошлой схолии рассматривали, что получается, если возвести комплексное число в квадрат. Из этого примера ясно, кстати, что одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных, ибо действительную и мнимую часть правой части равенства можно рассматривать по отдельности. Согласен?

Илюша задумался.

— Кажется… да!

— Если так, то мы начнем с формулы для косинуса двойного угла. Так или нет? Помнишь?

— Так, как будто. И она будет:

cos 2α = cos α — sin α.

— Хорошо. Не спорю. А теперь перемножение комплексных чисел (единичных комплексных векторов) из предыдущей схолии повторим еще раз с тем отличием, что наши комплексные множители будут иметь разные аргументы, то есть разные углы. Что мы получим?

Илюша тотчас выполнил это умножение и получил.

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β.

— Ну, а теперь у нас есть все для того, чтобы на основании этих двух формул написать еще формулу для косинуса троекратного угла, то есть для cos (2α + α), или в результате cos Зα.

На этот раз Илюша не очень долго возился, но все-таки помучился. Радикс напомнил ему, что ведь «без труда и рыбку не вытащишь из пруда», а не то что косинус троекратный!

И наконец получилась вот какая формула:

cos Зα = 4 cos α — 3 cos α.

— Вот теперь все, что надо, у нас есть, и мы можем спокойно продолжать наши рассуждения. Попрошу вас только еще заменить cos a на х и написать в обычном для уравнения виде так, чтобы правая часть равнялась нулю, тогда как cos За будет у нас называться а.

— 441 —

Это задание было совсем уж простое, и Илюша написал.

4x — 3x — a = 0

— Так ведь это получилось кубическое уравнение и как раз такое, какое мы получали, когда уничтожили член с неизвестным во второй степени.

— Совершенно правильно! — отвечал Мнимий. — Представьте, эта же самая блестящая мысль пришла в голову и славному Франциску Виете! У вас, прямо скажу, был довольно способный предшественник!.. Теперь смотрите внимательно. Ведь из этого уравнения мы по данному углу можем найти угол в три раза меньший, а следовательно, перед нами способ для решения задачи древности — трисекции угла, или деления любого угла на три равные части. Заметьте: любого, ибо некоторые утлы, как, например, прямой угол, делятся на три части очень просто, циркулем и линейкой. Правда, обычно берут не косинус, а синус, но перейти от того к другому не так трудно. А в общем, получается доступный способ для решения кубического уравнения, вернее, одного из его видов. Вот какие разнообразные выводы получаются при рассмотрении решения кубического уравнения. При этом очень важно еще и то, что решение Виеты как раз и есть то самое, которое разъясняет этот трудный случай, когда действительные корни скрываются под личиной мнимых (этот случай, как мы уж говорили, Кардан называл «неприводимым»). И отсюда Виета вывел, что либо кубическое уравнение получается наподобие двух пропорциональных (как при двоекубии!), и тогда у него только один действительный корень, либо они сводятся к трисекции угла, и тогда все три корня действительные. Входить в большие подробности я не буду; скажу только, что этим тригонометрическим способом Виеты можно пользоваться именно тогда, когда под квадратными корнями в формуле Кардана стоят отрицательные числа. В таком случае свободный член уравнения q можно выразить через синус некоторого троекратного угла, а затем, пользуясь тригонометрическими таблицами, без особого труда найти и самые корни. Все это, разумеется, на практике не очень удобно, но тут смысл не в том, чтобы добиться решения кубического уравнения (которое с помощью методов высшего анализа находится скорей и проще), а в том, чтобы рассудить о сути соотношений в алгебраических вопросах.

— Хорошо! — сказал Илюша. — Конечно, все это не очень легко… Но все-таки интересно, когда такую историю с разными алгебраическими чудесами разберешь подробно. Только вот еще что: ведь у древних был уже способ трисекции угла?

148