Волшебный двурог - Страница 147

147

— 436 —

сла человек придумал для счета. Всякого рода задачи, которые пришлось решать, привели неизбежно к понятию различных математических образов, которые получаются по крайней мере из пары чисел, как, например, сумма, разность, произведение, частное или дробь. А затем уже пошли еще более сложные построения, как и мы, мнимые человечки, которые выросли из задач, связанных с квадратным уравнением. Счет — одно, а расчет — другое! Но именно для того, чтобы наши расчеты не противоречили простому счету, чтобы правильность счета нигде и никогда не нарушалась, и приходится вводить такие сложные и хитрые построения, где из пары чисел получается одно особенное число. Но ведь зато и результаты получаются обширные и замечательные! Однако самая суть дела в том, что кубическое уравнение с его необычайными сложностями заставило математиков понять, что мы, мнимые хитроумные человечки (от которых до той поры, встречаясь с нами в квадратных уравнениях, просто отмахивались!), вовсе не случайные призраки, а самые настоящие граждане и деятели математического мира!

— Все-таки трудно… — признался Илюша.

— Разумеется, не очень просто, — согласился Мнимий. — Но вы подумайте еще о том, что в те времена все это было еще трудней, потому что нашей удобной алгебры с буквенными знаками еще не существовало. Тарталья, кстати сказать, изложил формулу Кардана в стихах, а потребовалось ему для этого двадцать пять строк!

— Ого, — отозвался Илюша, — целая поэма!

— Вот именно. И что было делать с этой формулой, как рассудить о ее странностях, долгое время не знали. Пока кубическое уравнение таково, что у него только один действительный корень, выражение под квадратным корнем

(q/2) + (p/3)

больше нуля, и тогда вычисления не так трудны. Но в другом случае — и как будто в самом простом, ибо тогда все три корня действительны! — это выражение становится меньше нуля, и как быть с формулой, неясно. Только через четверть века Рафаэль Бомбелли, последователь Кардана, нашел выход из положения. Начал он, как нередко в таких случаях бывает, с частного случая, с численного примера. Он взял такое кубическое уравнение:

x — 15x = 4

Решить его ничего не стоит без всякой формулы… Как вы скажете?

— 437 —

Илюша в ужасе уставился на уравнение. Наконец еле выдавил из себя:

— Четыре в квадрате — шестнадцать, а здесь пятнадцать, а четыре в кубе — шестьдесят четыре… Мне кажется, что решение равно четырем, потому что:

64 — 15 · 4 = 64 — 60 = 4.

— Вы совершенно правы! — весело воскликнул Мнимий. — Как видите, решить совсем нетрудно. А теперь попробуйте с формулой Кардана. И тотчас получается:

Как тут быть, неизвестно. Из (+ 121), конечно, квадратный корень извлечь небольшая хитрость, но ведь здесь минус.

Однако попробуем переписать теперь это по-нашему:

Из этого выражения Бомбелли получил (как мы теперь пишем!) такие равенства:

Если вы возведете каждое из этих равенств в куб, пользуясь формулой сокращенного умножения, вам хорошо известной, вы убедитесь, что равенства эти справедливы. Поскольку искомый икс равняется сумме этих двух выражений, то мы получаем…

Илюша немедленно написал ответ:

х = (2 + i) + (2 — i) = 2 + 2 = 4.

— Выходит, — решил он, — что искомый корень представился в виде суммы двух сопряженных комплексных чисел, а эта сумма, как мы уж знаем, есть действительное число! Значит, оно только спряталось за мнимыми числами. Но ведь должны быть и другие корни? Их ведь два еще должно быть как будто? Как их найти? Один корень мы нашли, — рассуждал Илюша, — левая часть уравнения должна состоять из трех

— 438 —

множителей. Но из нашего решения ясно, что один из множителей будет равен

(x — 4);

значит, если я перенесу все члены нашего уравнения влево и разделю затем эту левую часть на этот одночлен, получится квадратное уравнение, а из него можно раздобыть остальные два корня:

(x — 15x — 4) / (x — 4) = x + 4x + 1

Илюша еще немного покопался с вычислениями и написал:

x = 4,000; x = —2 + √3; x = —2 — √3

или приближенно:

х = —0,268; х = —3,732.

— По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.

Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже.

— 439 —

— Ишь как хорошо вес выходит! — воскликнул Илюша, закончив табличку. — На четверке нуль…

— Сделаешь верно, и получается хорошо, — заметил Радикс.

— А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.

— Как ей и положено, — закрепил Радикс. — Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.

147