Волшебный двурог - Страница 41

К оглавлению

— Конечно, помню.

Октаэдр.

Куб.

Икосаэдр.

— 121 —

Додекаэдр.

— Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.

Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.

— Так, — сказал Илюша, — теперь я как будто понимаю. Точки в углах тетраэдров — это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем — три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра — это те треугольнички, которые мы называли «черными». А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас «белым». Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.

— Но это еще не все, — добавил Радикс. — Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в

Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.

— 122 —

Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники — основания трех нижних тетраэдров; кружки — вершины этих тетраэдров (А, В, С); звездочка — положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.

пространстве. Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется между двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по…

— Второму способу! — закончил Илюша. — Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: «со всех четырех сторон», а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху — одно, в следующем слое — столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем — столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше — десять. Как же считать?

Четыре тетраэдра (вид сбоку).

— Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.

— В первом и втором слоях вместе: один да три — четыре.

— Квадрат двух, — подсказал Радикс. — А во втором и третьем?

— Три и шесть — девять,

— 123 —

Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики).

опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат.

— Три и шесть — девять, опять квадрат. А шесть и десять — шестнадцать, опять квадрат. Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?

— Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.

— Как интересно! — воскликнул Илюша. — И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть — это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?

Один слой — одно. Два слоя — четыре. Три слоя — десять. Четыре слоя — двадцать. Пять слоев — тридцать пять.

Строение селитры по М.В. Ломоносову (1763 г.)

— А это пирамидальные числа.

— Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.

— Конечно, — сказал Радикс. — Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных