Волшебный двурог - Страница 111

111

y = 25 + 19x;

у = 5 + 9х.

Спрашивается: где пересекаются эти прямые? Другими словами, требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Совершенно очевидно, что в искомой точке и у и у имеют одно и то же значение, а следовательно, мы найдем абсциссу точки пересечения из такого уравнения:

25 + 19х = 5 + 9x.

Решая это уравнение, находим, что

x = —2.

— 328 —

Чтобы найти ординату точки пересечения, подставляем найденное значение икса в любое из уравнений прямых и получаем:

y = —13.

Итак, координаты точки пересечения найдены, они равны:

—2; —13.

Если тело обрезать сверху и снизу, получается бочка, объемом которой интересовался Кеплер. Еще более близкое к бочке тело можно получить из эллипса подобным же образом.

Когда Декарт, говорят, привел в порядок все эти свои открытия, то он сказал: «Я решил все геометрические задачи». И это было справедливо в том смысле, что, владея его методом, можно было решить почти все задачи, известные в то время. Для примера того, как расширялись возможности наших суждений, вспомним параболу. Сперва греки говорили, что парабола есть сечение конуса плоскостью, параллельной образующей конуса. Затем, после того как было формулировано понятие геометрического места и оценено значение этого понятия, они определили параболу так: это геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой и точки (директрисы и фокуса). А по методу Декарта легко показать, что парабола — это график квадратного трехчлена. Чисто геометрическое построение сроднилось с чисто алгебраическим. Причем и то и другое очень выиграло в смысле наглядности и простоты. Таким образом, ум математика освободился от целого ряда мелких, но хлопотливых трудностей, и это помогло заняться более важными работами. Геометрия и алгебра как бы слились в одну науку, и их сила увеличилась от этого во много раз. Алгебра позволяет преобразовывать уравнения, выра—

— 329 —

Парабола третьего порядка.

Один вещественный корень и два комплексных.

жающие геометрические соотношения, а геометрия наглядно представляет смысл многих алгебраических зависимостей и преобразований. Можно теперь высказывать очень странные на первый взгляд суждения, например, что у квадратного трехчлена есть ось или фокус. И ты будешь прав: действительно у геометрического образа квадратного трехчлена, то есть у параболы, имеется и то и другое. А есть ли смысл в таких «странных» замечаниях? Представь себе, что есть, и вот пример. Что это, собственно, означает, что у квадратного уравне-

— 330 —

ния имеются два корня? Это значит, что парабола на графике дважды пересекает ось абсцисс, или ось иксов, как мы это выяснили в Схолии Двенадцатой. Что значит, что у квадратного уравнения нет вещественных корней? Это значит, что соответствующая на графике данному квадратному трехчлену парабола совсем не пересекает оси иксов — она вся находится либо выше этой оси, либо ниже ее. Если взять уравнение третьей степени:

х + Ах + Вх + С = 0,

то у него должно быть три корня, например:

x = а; х = b; х = с,

теперь можно составить такое уравнение:

(x — а) (х — b) (х — с) = x — х (а + b + с) +

+ х (ab + ас + bc) — abc = 0,

откуда следует, что коэффициенты уравнения третьей степени связаны с корнями следующим образом:

А = — (а + b + с); В = ab + ас + bc; С = — abc.

Три вещественных корня.

— 331 —

Рассмотрим теперь, что обозначает геометрически утверждение о трех корнях. Если мы напишем

у = х + Ах + Вх + С,

то будем иметь дело с кривой, которая сперва поднимается вверх, доходит до некоторого максимума, потом опускается, доходит до некоторого минимума, а затем снова начинает подниматься. Разумеется, все это может идти и обратным порядком (то есть сперва будет минимум, а потом максимум), в зависимости от знака перед х (все эти кривые называются кубическими параболами, параболами третьего порядка). Но если кривая имеет такую форму, то ясно, что она либо пересекает ось иксов трижды, и тогда все три корня кубического уравнения вещественны, либо пересекает ее только однажды, и тогда у него есть лишь один вещественный корень и два других — комплексные. Все рассуждения чрезвычайно упрощаются. Что же касается тех преимуществ, которые дает алгебра, то легко рассудить, что гораздо проще написать

х = аb.

чем выполнить построением и записать такое утверждение:

«Квадрат, построенный на отрезке, длина которого равняется х, равновелик прямоугольнику, одна сторона которого равна а, а другая равна b». Тут надо вот еще что иметь в виду. Геометрия древних, как отчасти и геометрия вообще, отличается тем, что там нет общих способов и чуть ли не каждая задача решается по-своему. Греки проявили в таких решениях просто гениальное остроумие, но им не хватало того, что ныне мы называем общностью. Они сделали все, что было возможно при отсутствии общих методов, а далее вынуждены были остановиться. Труды Архимеда были замечательны еще тем, что он в связи с развитием в его время естественных наук (особенно астрономии) обратил внимание на измерение и вычисление, но и у него общие методы не выработаны, а только намечены. Труды средневековых алгебраистов и математиков эпохи Возрождения много сделали для объединения и систематизации математической работы. Декарту же вместе с Ферма посчастливилось, соединив воедино геометрию с алгеброй, дать

111