Волшебный двурог - Страница 35

Большая стрелка показывает, как идет «змейка».

— 105 —

— Да-а, — протянул Илюша. — Из этих примеров выходит так. Но я не пойму: как надо рассуждать, чтобы убедиться в том, что всегда так будет выходить?

— Ну хорошо! — примирительно сказал Радикс. — Давай теперь соберем все наши наблюдения над Дразнилкой. И попробуем подытожить все вместе. Итак — шашка может обойти только четное число других шашек: две, четыре и шесть. Это и есть основа всей системы Дразнилки: если есть возможность, комбинируя друг с другом такие четные обходы, достигнуть желаемой позиции — задачка решается. Если нет, то и нет решения. Надо сравнить заданную позицию с желаемой: если между ними четное число инверсий — все в порядке! Если нечетное, ничего добиться нельзя. Вот и все! Любая позиция из круга иной четности переходит в обратный круг при перестановке с места на место одной-единственной (но не двух!) шашки. Если внимательно посмотреть на зеркальное отображение самого маленького трехшашечного Дразнилки, то ясно, что один круг переходит в другой как раз через зеркальное отображение. Но если это так, то всегда из задачи, которая «не выходит», можно сделать другую, которая «выходит». Это будет та же искомая позиция, но в зеркальном отображении. Конечно, как это в каждом случае сделать — уж вопрос другой (АЛ-1, VIII).

— Понимаю, — сказал Илюша. — Выходит верно, но как-то не очень складно. Ведь должна же быть какая-нибудь общая причина, благодаря которой число инверсий всегда меняется на четное число при скачке через четное число шашек…

— Ишь какой хитрец! — воскликнул, рассмеявшись, Радикс. — Причина-то как раз в том и заключается, что ты перескакиваешь через четное число шашек, а ведь всякое четное число состоит из двоек. А если взять две шашки, то уже мы с тобой установили… Впрочем, можно этого отдельно и не рассматривать. Будем рассуждать так. Пусть шашка перепрыгивает по «змейке» через четное число 2n шашек. Причем есть р шашек, с которыми у нее были инверсии, и q = 2n — р шашек, с которыми инверсий не было. Ясно, что 2n — четное число. Но если это так, то числа р и q, как говорится, одной четности, то есть либо они оба четные, либо оба нечетные, иначе их сумма не могла бы быть четной. Если же я теперь вычту эти два числа одной четности, р и q, друг из друга, то я обязательно получу четное число, так как разность двух четных, как и двух нечетных, чисел неизбежно четная. Можешь проверить, коли тебе не лень. Другими словами, разность двух чисел всегда одинаковой четности с их суммой. Иначе говоря, алгебраическая сумма некоторого числа единиц с любыми знаками всегда будет одной четности с чис-

— 106 —

лом этих единиц. Вот в чем тут сила! Ну, вернемся к нашей задаче. Изложи мне коротко и ясно: что же мы доказали этим рассуждением?

— Мы доказали, что при всякой перестановке шашки на пустое место число инверсий меняется на четное число. Значит, здесь, как и в маленьком Дразнилке, вернуться к исходному положению (то есть к такому, в котором нуль инверсий) можно только из расположения, в котором подсчет вдоль по «змейке» показывает четное число инверсий.

— Великолепно! — отвечал, вздохнувши, чтобы перевести дух, Радикс. — Вот теперь мы можем сказать, что установили необходимое условие того, чтобы Дразнилка вышел. А то, что это условие еще сверх того и достаточное, можно доказать совершенно строго, но мы этим заниматься не будем.

— Ну! — произнес огорченно Илюша. — Это мне не очень нравится. Ведь выходит, что мы только полдела сделали. И, наверно, это самое интересное и есть, потому что мы не получили правила, как приводить шашки в порядок.

— Конечно. Хотя одно общее доказательство вовсе и не должно указывать, как добиться цели скорей всего. Но только дело в том, что это доказательство не простое, и я не уверен, захочешь ли ты его слушать.

— Захочу, захочу! — обиженно сказал Илюша. — Мне очень нравится, когда я наконец начинаю разбираться в таких вещах, которые сперва кажутся такими уж хитрыми, что не знаешь, с какой стороны и подойти.

— Хорошо, — покорно отвечал Радикс. — Давай попробуем. Начнем вот с чего: убедимся в том, что с помощью перемещения шашек на пустое место мы всегда можем перепрыгнуть через любые две шашки по линии «змейки». Это совершенно ясно, если они обе стоят по соседству с пустышкой у того края, где «змейка» переходят из строки в строку. Но если они стоят где-нибудь рядом в одной строке, то мы можем поступить так: переместим их на край, не нарушая циклического расположения трех шашек (третья — та, которую надо перевести), так, чтобы они стали на краю друг под другом; затем, освободив место для переводимой шашки, перемещаем ее через них и вернемся, не нарушая

— 107 —

циклического расположения трех шашек, к исходному порядку, но с перемещенной уже шашкой. Приведем пример, и все станет ясно (верхний рисунок, стр. 107). Шашку «восемь» переведем через «девять» и «десять». Сперва мы передвинем шашки в двух нижних строках (нижний рисунок на стр. 107). Затем, как показывают три рисунка рядом, мы постепенно передвигаем шашки, потом перескакиваем и возвращаемся обратно. Как видишь, все осталось на месте, только шашка «восемь» перепрыгнула через двух своих соседок.