Волшебный двурог - Страница 19

— Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?

— Начнем с его рожицы, — отвечал Радикс. — Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурсальной. Вот почему его так зовут.

Правда, это слово — «уникурсальный» — иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится — одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево.

Попробуй начертить одним росчерком!

У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникурсальная.

— В чем же тут дело? — спросил

— 57 —

Илюша. — Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?

Четный узел

— Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное — нечетный. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от него по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают.

Нечетный узел.

В каждый из них ты можешь пройти. Другое дело — нечетный узел. Например, из него три пути…

— Ясно, — подхватил Илюша. — Раз приду и раз уйду — значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей — и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.

— Совершенно верно, — отвечал терпеливый Радикс. — Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?

— Допустим, что они будут тройные.

— Два нечетных узла?.. — повторил Илюша. — Я сейчас нарисую.

Илюша нарисовал два чертежа.

Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).

— Ну вот, — сказал он, — две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и H возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти…

— Так, — сказал Радикс. — Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура. Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя

— 58 —

фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.

— Как это? — спросил Илюша.

— Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты — линиями, соединяющими эти точки.

Илюша начертил фигуру, нарисованную внизу.

— Ну вот, — сказал Радикс. — Это и есть схема путей и перекрестков на ордене Уникурсала Уникурсалыча. Ясно, что вопрос о том, можно ли обойти все мосты, проходя через каждый только один раз, сводится к вопросу, можно ли вычертить эту фигуру непрерывным движением, то есть уникурсальна она или нет.

Илюша начал рассматривать схему, раза два сбился и наконец ответил:

— Тут выходит четыре нечетных узла — А, В, С и D.

— Ну, вот тебе и решение! -усмехнулся Радикс. — Мы с тобой сейчас установили, что в уникурсальной фигуре может быть любое число четных узлов и не более двух нечетных. Если в фигуре есть только четные узлы, то обход фигуры можно

— 59 —

начать с любой точки.

Если в фигуре есть два нечетных узла, то нужно начать обход именно с одного из них, а закончить в другом нечетном узле. А теперь представь, что тебе дана очень сложная фигура без нечетных узлов или с двумя нечетными узлами. Какие основания утверждать, что ты, выйдя из первого нечетного узла, сможешь обойти ее всю, не проходя ни одного пути дважды?

— Если она не состоит из нескольких несвязанных частей, то я, конечно, могу попасть в любую точку, а в четных узлах застрять не могу…

— Таким образом, раньше всего надо сказать, что фигура должна быть связной. А не может ли случиться, что ты, проходя через четные узлы, оставишь в стороне какую-нибудь часть фигуры так, что к ней уже больше нельзя будет добраться, а потом застрянешь во втором нечетном узле и не обойдешь всю фигуру?

— Как же это может случиться? — спросил Илюша.

— А вот, например, если на нашем первом чертеже, где два ромба соединены перемычкой, ты сначала пойдешь не по сторонам одного из ромбов, а по этой перемычке. Однако то же самое может случиться и как-нибудь иначе, если ты незаметно для себя разобщишь две части фигуры и она потеряет связность. Это значит, что свободных, то есть еще не пройденных путей, соединяющих две эти части, уже не останется.