Волшебный двурог - Страница 157

157

— Это, — прошептал на ухо Илюше его спутник, — великий русский ученый Пафнутий Львович Чебышев, а с ним его ученик Александр Михайлович Ляпунов, который работал семнадцать лет и решил вопрос о том, какие формы могут принимать небесные тела, то есть какие из этих форм устойчивы, а какие нет. Вот теперь, быть может, тебе станет яснее, что хотел сказать Ломоносов, когда писал о «собственных Платонах и быстрых разумом Невтонах», не правда ли?

Вслед за этим они попали еще в один громадный зал, где грандиозное количество светящихся искр медленно перелетало от одной стены к другой. Они вылетали тончайшей струен из одной ярко светящейся точки, рассыпались в воздухе и, опи-

— 465 —

сывая параболы, падали на противоположную стену. Они гасли на той стене, на которую падали, не сразу, благодаря чему на стене из них получался красиво светящийся эллипс.

— Этот светящийся эллипс имеет некоторое отношение к числам в треугольнике Паскаля и к биному Ньютона, с которым ты скоро ознакомишься в школе. Есть такая особая отрасль математики, которая занимается явлениями, носящими название «случайных».

— Случайных? — с удивлением сказал Илюша. — А что может в математике делать случайность?

— С какой-нибудь отдельной случайностью, разумеется, нам в математике делать нечего, но когда мы имеем дело с массовым явлением, целым комплексом случайных явлений, тогда уже совсем другое дело. Самый простой пример такой массы явлений — это ошибки измерения. Измерить какую-нибудь величину для астронома дело не простое, измерения производятся помногу раз и разными лицами. Ученые принимают все доступные меры, чтобы в их измерениях не было постоянно а ошибки, которая вызывается какой-либо определенной причиной, но со случайными ошибками управиться труднее. Однако и рассуждение и опыт говорят нам, что если для ошибок у нас нет никаких постоянно действующих в одном и том же направлении причин, то они будут беспорядочно изменять наши наблюдения то в одну сторону (скажем, в сторону «плюс»), то в другую (пусть это будет «минус»), и нет оснований для того, чтобы отклонения в одну сторону были систематически больше или встречались чаще, чем отклонения в другую. А если все это так, то разумно допустить, что наиболее близкая, по всей вероятности, к истинной искомая величина, которую мы измеряем, будет нами найдена в предположении, что наши случайные погрешности взаимно погашают друг друга. Если перевести все это рассуждение на математический язык, то мы получим в ответ от наших друзей, бесконечно малых, что при таких обстоятельствах и некоторых несложных допущениях искомая истинная величина совпадает со средней арифметической из целой массы наблюдений. Этот пример, конечно, не более как пример; было бы очень странно, если бы, опираясь на это, мы измерили рост каждого бойца в целом пехотном полку и затем вздумали утверждать, что это неверно, будто в этом полку есть и. высокие и низкие солдаты, нет, дескать, там все одного роста, точь-в-точь такого, как наша вычисленная средняя! Нет, мы говорим в таком случае, что средняя есть просто некоторая сводная характеристика этого коллектива, и не более того. Впрочем, мы нередко можем охарактеризовать наш коллектив и гораздо более подробно, то есть указать (а иной раз даже и предска-

— 466 —

зать), насколько в общем будут отклоняться наши данные от средней или даже сколько и каких отклонений от средней там будет наблюдаться. Итак, если я имею дело с массовым явлением, я имею возможность вычислить результаты некоторых случайных явлений. Допустим, ты подбрасываешь монету. У нее две стороны. Та, на которой отчеканен герб, обычно называют «орлом», а другую сторону — «решкой». Какова вероятность того, что монета упадет гербом вверх?

— Может быть и то и другое, — отвечал Илюша. — На ребро монета стать не может.

— Правильно. Вот математик и говорит, что поскольку это так, то вероятность выпадения «орла» или «решки» равносильна полной достоверности, то есть ничего другого выпасть не может. А что именно выпадет в данный момент, сказать трудно. Если бросать много раз, то они, в общем, должны выпасть в одинаковом количестве. Известный французский естествоиспытатель Бюффон в свое время проделал такой опыт: он бросил монету четыре тысячи сорок раз. «Орел» выпал две тысячи сорок восемь раз, а «решка» — тысяча девятьсот девяносто два раза. Полной точности в равенстве этих чисел, конечно, нельзя ожидать, ибо на белом свете не бывает математически точных монет, но в процентном отношении получилось довольно хорошо; пятьдесят и семь десятых процента и сорок девять и три десятых процента. Если принять полную достоверность за единицу, вероятность выпадения «орла» равна половине, «решки» — тоже половине. Понятно?

— Понятно.

— Представь себе теперь, что ты бросаешь две монетки. Какова вероятность того, что у тебя выпадут два «орла»? Попробуем усложнить нашу задачу.

— Половина, — отвечал Илюша. — Не все ли равно, сколько монеток?

— Вот то-то, что не все равно! — отвечал, усмехнувшись, Радикс.

— Давай-ка сосчитаем. У тебя две монетки — первая и вторая. Какие могут быть случаи? Во-первых, обе монетки выпадут «орлами», во-вторых — обе «решками», в-третьих — первая «орлом», а вторая «решкой»…

— Ах да! — воскликнул Илюша.

— В-четвертых — первая «решкой», вторая «орлом». Значит, всего может быть четыре комбинации, совершенно равноправные, а отсюда мы заключаем, что вероятность выпадения двух «орлов» при бросании двух монеток равна не половине, а только четверти. А зато вероятность выпадения и «орла» и «решки» сразу равна половине, ибо ты не нумеруешь монетки, а подсчитываешь просто общий результат. Чем больше брать монеток, тем расчеты эти делаются все сложнее и сложнее.

157