Волшебный двурог - Страница 153

К оглавлению

153

— Значит, — перебил мальчик, — мы получим для уравнения:

х + ах + bх + с = 0,

если начать с такой записи уравнения:

(x — x) (х — х) (х — х) = 0,

такие выражения для его коэффициентов через его корни:

— c = xxx

b = xx + xx + xx

— а = х + x + х.

Знаки меняются.

— Так-с… Так вот, именно эти выражения Виеты обладают очень важным свойством: они не меняются, если переставлять в них корни. Проверьте!

— Насчет а и с, конечно, верно, потому что это сумма и произведение. А как быть с b? Если поменять местами икс-первый и икс-третий?.. Верно! То же самое получается.

— Поэтому математики называют эти функции корней

— 454 —

из формул Виеты симметрическими функциями. Для алгебраических уравнений любых степеней они строятся по одному и тому же правилу, которое вы уже указали. А у кубического уравнения есть еще одно общее свойство с Дразнилкой Малым. Когда мы разбирали пример Рафаэля Бомбелли, вы ведь заметили, что кубические корни, им полученные, суть сопряженные комплексные числа, то есть величины неравные, хотя и геометрически зеркально симметричные. Свойство это заключается в том, что существует такая функция корней кубического уравнения, которая при всех перестановках может принять только два значения — это и будут подкоренные величины кубических корней в Кардановой формуле.

— Вроде, как два круга разной четности у Дразнилки Малого? — осторожно спросил Илюша.

— Похоже, но не больше… Эта функция, найденная Лагранжем, такова:

(х + αх + αх).

Она может принимать только два значения, поэтому появляется возможность приравнять их двум корням квадратного уравнения, что и позволяет нам построить Карданову формулу, то есть найти решение кубического уравнения. Вот как примерно через два века была выяснена сущность Кардановой формулы. Вслед за этим Лагранж рассмотрел и решение уравнения четвертой степени, которое приводится не к квадратному уравнению, а к кубическому, однако теперь это уже не страшно!

— А уж с четвертой степенью, наверно, ужасно трудно… — заметил Илюша.

— Да, не так просто! Но Лагранж и для этого уравнения нашел решение. Он вообще старался найти самый смысл решения, так сказать, ключ к этой удивительной загадке. И ему многое удалось. Он даже предполагал, что именно в перестановках весь секрет этих сложнейших дел и прячется. А потом оказалось, что это верно! Но все-таки даже и этой тонкой догадки еще было мало. Ученые бились над уравнением пятой степени, и Лагранжу с этой загадочной пятой степенью тоже ничего не удалось сделать. Он даже с горя начал поговаривать, что вообще с математикой дела плохи… Так что вы можете убедиться, что не только в средней школе с математикой огорчения случаются!

— Удивительные все-таки перестановки! Такие, мне казалось, простые…

— Сами математики долгое время не знали, какие в них таятся удивительные секреты, — отвечал Радикс, — и до чего полезные секреты! Физики, которые ныне занимаются строе-

— 455 —

нием атома, перестановкам уделяют много внимания. Алгебра теперь занимается главным образом математическими операциями и их соотношениями. Когда-то араб ал-Хорезми поругивал греческие геометрические «премудрости», расхваливая свою алгебру, которая помогает решать житейские арифметические задачи, а в разные отвлеченности, не интересные для торговой практики, не лезет. И оказалось в дальнейшем, что он жестоко ошибся! Как раз в алгебре-то и зародились самые отвлеченные разделы нашей науки. Благодаря этому развитию математика помогла физике осилить задачи, которые раньше казались совершенно недоступными.

— А как же все-таки получилось с уравнением пятой степени?

— Сейчас я разъясню, — отвечал Мнимий — Я снова прошу внимания! Здесь есть один важный и трудный пункт… Тут вот в чем дело: Лагранж, человек редкой наблюдательности и проницательности, когда стал изучать симметрические функции, довольно скоро заметил, что знать только одни симметрические функции еще не достаточно для того, чтобы решить кубическое уравнение. И что в формуле Кардана незаметно запрятан еще какой-то важный секрет, без которого смысл ее все-таки еще остается темен. В чем же тут дело? Самый трудный пункт здесь в том, что самые симметрические функции не позволяют еще отличить один корень от другого, и надо найти еще одну несимметрическую функцию корней, которая, в случае квадратного уравнения, принимает всегда одно-единственное значение (а для кубического уравнения- ровно два и не больше). Приглядитесь сами к решению квадратного уравнения. Там мы получаем две функции симметрические:

x + x = —p; xx = q.

Но что с ними делать? Ведь чтобы разделить эти два корня, надо опять решать то же самое уравнение? Выходит, что мы мучались-мучались, а все равно не сдвинулись с места! Так вот, в том-то и заключается вся сила, что возможно найти еще одну функцию корней, которая уже не будет симметричной и — а это-то и есть основное! — принимает одно и только одно значение. Это и будет функция (x — x), о которой мы уже говорили. А зная сумму и разность наших корней, мы их немедленно находим, и при этом из уравнения первой степени, но не второй! Теперь — готово! Степень уравнения мы понизили, все в порядке. Совершенно так же для кубического уравнения мы ищем несимметрическую (знакопеременную) функцию, принимающую только два значения. Для уравнения четвертой степени это будет несимметрическая функция

153