Волшебный двурог - Страница 151

К оглавлению

151

— Нет, нет, — взмолился Илюша, — мне хочется все-таки до конца дослушать!

— «До конца»! — повторил ворчливо Радикс. — Ты дума-

— 448 —

ешь, у этой штуки есть конец? Что касается меня, то я в этом отнюдь не уверен. Так еще немножко проползти можно…

— Поползем! — ответил Илюша, вздохнув потихонечку.

— Воля твоя, — отвечал Радикс, — только потом чтобы не жаловаться, что, дескать, замучили!

— Не буду жаловаться! — храбро заявил Илья.

— Тогда слушай дальше, — продолжал Радикс.

— Слушаю!..

— В конце восемнадцатого века замечательный французский математик Лагранж пытался разобраться во всех способах решения уравнений третьей и четвертой степеней. После того как Эйлер нашел сочетания значений двух кубических корней в формуле Кардана, чтобы получить значения всех трех искомых корней, изучение алгебры комплексных чисел сильно двинулось вперед. Лагранж обратил внимание на то, что любой из двух кубических радикалов в формуле Кардана можно выразить через три корня уравнения при помощи следующей формулы (в зависимости от того, какой корень считается первым, какой — вторым, какой — третьим):

⅓(x + αx + αx)

— Совсем я запутался! — с огорчением пробормотал Илья. — Чем эта формула поможет? Откуда взять корни, когда я еще не решил уравнения? Значит, надо сперва воспользоваться формулой Кардана. Какой смысл в этой формуле?..

— Видите ли, — вмешался Мнимий, — вы правы в том отношении, что в деле разыскания корней эта формула помочь не может. Но чтобы представить себе, как связаны корни кубического уравнения с его коэффициентами, она в высшей степени полезна.

— Опять не понимаю! — снова огорчился мальчик. — Ведь мы же знаем, какие для Кардановой формулы делали два раза подстановки! Разве из этого нельзя вывести, какие получаются соотношения между корнями и коэффициентами?

— Того, что мы знаем о наших подстановках, еще мало. Потому что те подстановки, которые годятся для кубического уравнения, не подходят для уравнения четвертой степени, а следовательно, это способ не общий. Кроме того, пока самый способ решения нельзя проверить — или, как говорится, проанализировать, — невозможно подойти и к рассмотрению всего вопроса в целом об алгебраических уравнениях. Ведь мало еще догадаться, каково решение, надо дознаться, почему оно такое, а не иное.

— Возьмем квадратное уравнение, — предложил Радикс, —

— 449 —

хорошо тебе известное. Что ты скажешь, если я предложу тебе для него такую формулу? Ты с ней согласишься?

x = 1/2[(x + x) ± (x — x)]

— Д-да… — сказал Илюша неуверенно. — То есть если припомнить общую формулу квадратного уравнения

(x + x)(x — x) = 0,

потом открыть в ней скобки

x — (x + x)x + xx = 0,

а затем применить к такому выражению всем известную формулу, для решения квадратного уравнения, то как раз и придешь к твоей формуле. И действительно, она показывает, как формула решения связана с корнями. Но ведь в квадратном уравнении все так просто!

— Боюсь, — вымолвил Мнимий, — что вас пугают эти самые альфы в формуле Лагранжа. Не так ли? А ведь мы о них недавно говорили… Вспомните-ка!

— Говорили…

— А что именно?

— Что с их помощью получаются все значения корней из комплексного числа…

— Разве? — сказал удивленный Радикс. — Как же это возможно? Мыслимое ли это дело?

Илюша посмотрел на своего друга укоризненно.

Что-то очень маленькое и беленькое вдруг упало у ног Илюши, а потом пошел целый снег из этих маленьких беленьких… Одна штучка упала Илюше прямо на руку, и он увидал, что на ладошке у него лежит крохотная беленькая альфа. А кругом так и сыплются все новые и новые маленькие беленькие альфы…

А Мнимий посмотрел на эту альфообразную метель и признался:

— А ведь в самой своей сущности я тоже альфа!

Илюша взглянул на него и сказал:

— Когда мы разбирали пример Бомбелли, я, кажется, понял, что под корнями в формуле Кардана стоят сопряженные комплексные числа… Ну вот, отсюда и альфы, чтобы получать один за другим все значения корня из комплексного числа! Теперь я как будто разобрался. Значит, Лагранж дал

— 450 —

формулу Кардана не просто в виде результата двух подстановок, а так, как она складывается из самых корней.

И тут альфовый снежок стал стихать.

— Так-с… — произнес наставительно Мнимий. — Это похоже на дело. Но теперь на минутку давайте снова вернемся к квадратному уравнению. Вы этого не бойтесь! Поверьте, что все те крупные ученые, которые это разбирали, тоже не раз вспоминали о квадратном уравнении. Так вот вам еще один вывод для формулы решения квадратного уравнения, причем чрезвычайно полезный. Нам ведь хорошо известно, что по формулам Виеты сумма корней квадратного уравнения (х + рх + q = 0) равняется коэффициенту при неизвестном в первой степени с обратным знаком, то есть:

х + х = — р.

Возьмем еще одно выражение, составленное из тех же корней, только не сумму, а разность, и возведем ее в квадрат:

(x — x) = (x + x) — 4xx = p — 4q

Отсюда сразу можно написать, что

x + x = — p

x — x = ± √( p — 4q)

Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?

— Так, конечно, — отвечал Илюша. — Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности — другой. Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени… То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается…

151