Волшебный двурог - Страница 145

145

х + рх + q = 0,

ибо, если коэффициент при х не равен единице, делим вес уравнение на этот коэффициент — и дело в шляпе! Как быть далее? А что, если уничтожить второй член уравнения с иксом в первой степени? Тогда останется икс в квадрате и свободный член, а нам как «раз и надо получить двучленное уравнение. Введем новую неизвестную, допустив, что наш икс таков:

x = y + h.

— А что такое h? — с удивлением спросил Илюша.

— Пока что h совершенно произвольное число, но мы сейчас выясним точно, в каком виде оно может нам помочь. Подставим в уравнение новое значение икса и сделаем приведение. Это нетрудно! Получаем:

(y + h) + p (y + h) + q = 0;

y + y (2h + p) + h + hp + q = 0.

Теперь становится ясно: чтобы уничтожить второй член уравнения, надо положить, что коэффициент при иксе в первой степени равен нулю, то есть:

2h + р = 0;

h = — p/2

Подставим в полученное уравнение. Получаем:

y + y (—2p/2 + p) + p/4 — p/2 + q;

после приведения:

y = p/ 4 — q

— 431 —

по так как х + у = h, то находим и решение:

x = — p/2 ± √(p/4 — q)

Следовательно, наш этот способ — уничтожить один из членов уравнения — вполне целесообразен. Теперь попробуем разобрать, как было решено впервые алгебраически, или, как говорится, «в радикалах», то есть с помощью извлечения корней необходимой степени, кубическое уравнение. Сделано было это в шестнадцатом веке в Италии учеными города Болоньи Ферро, Тарталья и Кардано. Между двумя последними шел долгий спор о том, кто первый сделал это открытие, но мы в эти ненужные споры забираться не будем, тем более что с современной точки зрения все решение не так уж сложно.

— А все-таки, наверно, трудно… — грустно заметил Илюша.

— Не очень! Конечно, поскольку само кубическое уравнение сложнее квадратного, то весь ход решения похитрей. Но тут дело в том, что выясняются некоторые особые подробности… Итак, у нас имеется кубическое уравнение, где коэффициент при старшем члене уже превращен в единицу:

х + ах + bх + с = 0.

Цель снова будет та же самая: придумать такие преобразования, чтобы превратить данное уравнение в уравнение с меньшим числом членов, ибо, как мы видели на примере квадратного, этот прием упрощает задачу. Сперва мы будем поступать так же, как с квадратным уравнением. Положим снова:

х = у + h

и подставим это в наше уравнение. Получим после небольших переделок

у + (3h + а) у + (3h + 2ah + b) у + h + ah + bh + с = 0.

Теперь снова постараемся обратить коэффициент второго члена (при игреке в квадрате) в нуль, то есть положим, что

(3h + a) = 0; h = — a/3,

откуда

у + (—3a/3 + а) у + (3a/9 — 2a/3 + b) у + h + ah + bh + с = 0.

— 432 —

или, сделав приведение:

у + (—a/3 + b) у + (2a/27 — ab/3 + с) = 0.

Теперь для сокращения письма положим:

(—a/3 + b) = p; (2a/27 — ab/3 + с) ] = q

и запишем окончательно результат в таком виде:

y + py + q = 0.

(Если q = 0, то все просто: y = 0, у = ±√—p)

При q ≠ 0 результат, как ты видишь, разумеется, несколько менее утешителен, чем в случае квадратного уравнения, ибо у нас не два, а три члена. Но как-никак определенное упрощение достигнуто. Как же теперь быть далее? Ясно, что нужно придумать способ, который дал бы возможность обратить выражение ру в нуль, после чего мы и получим двучленное уравнение, то есть то же самое, что было получено для квадратного. И вот как раз на этом месте болонцам пришла в голову счастливая мысль сделать еще одну подстановку: положить, что у в последнем уравнении можно представить в виде суммы:

у = u + v.

И опять-таки эти величины ими пока что совершенно произвольные. Мы только одно можем сказать, что сумма их есть корень нашего уравнения, который не равен нулю.

— А почему он не равен нулю?

— Сейчас рассмотрим! Попробуем подставить. Получаем:

(u + v) + р (u + v) + q = 0.

Смотрите-ка! Теперь видно, что сумма (u + v) не может быть равна нулю, потому что тогда и число q будет равно нулю, а число q, свободный член уравнения, не равно нулю. Теперь откроем скобки и кое-что сгруппируем:

(u + v) + (u + v) (3uv + p) + q = 0.

Такая форма уравнения уже подает нам некоторые надежды! Может быть, нам удастся уничтожить второй член? Положить,

— 433 —

что u + v = 0, мы, как сказано, не можем, но зато спокойно можем допустить, что

3uv + р = 0;

uv = —p/3

но в таком случае наше уравнение превращается в такое:

u + v = — q.

Следовательно, мы получили два уравнения. Одно из них дает произведение новых чисел u и v, а другое их сумму. Правда, они в разных степенях, но никто не помешает возвести это произведение тоже в куб. Далее это создаст нам некоторые затруднения, но мы как-нибудь их одолеем. И вот перед нами два уравнения:

145