Волшебный двурог - Страница 124

124

Когда мальчик пригляделся, он заметил, что это не одно стекло, а два, между которыми имеется зазор шириной в два миллиметра, для которого гипербола и ось абсцисс образуют сплошные продольные стенки. Промежуток между этими двумя стенками был сверху и снизу открыт. Радикс взял тоненькую резиновую перегородочку и вставил ее снизу в зазор против точки на оси абсцисс, отвечающей значению х = 1, и перегородочка стала вплотную в промежуток между осью абсцисс и гиперболой. Затем Радикс взял банку с ртутью и осторожно сверху налил ртути в зазор между гиперболой и осью абсцисс, так что ртуть заполнила промежуток между ними над перегородкой до уровня, отмеченного х = 2 на оси иксов.

— Вот кусочек гиперболической площади, — сказал он. — Так?

— 366 —

Затем Радикс осторожно передвинул резиновую перегородочку от абсциссы «1» до абсциссы «3».

Илюша внимательно посмотрел и увидел, что теперь поверхность ртути оказалась сверху против точки с абсциссой х = 6.

— Понятно? — спросил Радикс.

— Из одного трапецоида вышло три, — задумчиво констатировал мальчик. — Было от одного до двух, а теперь стало от трех до шести. А как это получилось, не знаю,…

Радикс махнул ручонкой, и вся ртуть немедленно исчезла.

Поглядев машинально на банку, Илюша заметил, что количество ртути в банке снова увеличилось, а сбоку прыгает одна капелька, никак не может попасть обратно в банку.

Вот как Радикс сначала поставил этот чертеж

А потом повернули обратно

— Возьмем, — сказал Радикс, — очень тонкую полоску, толщиной в долю микрона. Если взять еще тоньше, так, пожалуй, и не увидишь. Так ведь и делали математики в старое время, когда свойства бесконечно малых не были еще достаточно хорошо исследованы и обсуждены. В этом роде действовали, например, Архимед, Кеплер и Кавальери. Это было начало возникновения анализа бесконечно малых, и при разрешении некоторых, сравнительно простых вопросов в руках крупных ученых этот несовершенный способ давал серьезные, а для тех времен даже и решающие результаты. Во всяком случае, без

— 367 —

этих первых, робких и грубых попыток интегрировать и дифференцировать с помощью таких, как выражался Кавальерн, «неделимых» полосок вряд ли наука сумела бы создать то, чем стала математика в наше время. Итак, мы берем такую тончайшую полоску как раз против абсциссы с пометкой «один». Впрочем, сказать по совести, мне надоело возиться с перегородкой, и я привык, чтобы ось иксов шла горизонтально. Поэтому я попрошу ртуть теперь уж без подпорок занимать полагающееся ей пространство между двумя вертикальными ординатами гиперболы.

Оси послушно повернулись, а Радикс сердито глянул на банку со ртутью. Бедная капелька, которая никак не могла попасть обратно в банку, опрометью кинулась обратно к стеклянной гиперболе и немедленно растянулась против абсциссы «1» тоненькой-претоненькой блистающей серебряной ниточкой.

— Хороша «неделимая» полоска? — спросил Радикс.

— Да, — отвечал Илюша, — уж поистине «неделимая».

— Допустим! — усмехнулся Радикс. — Пусть на этот раз будет по-твоему. Это, конечно, не совсем по Кавальери… Ну, все равно, не будем уж на этот раз придираться!.. Но представь себе, что я хочу ее переместить к абсциссе с пометкой «три». Поскольку эта полоска имеет некоторую конечную толщину, хоть и очень небольшую, она, чтобы уместиться под гиперболой, должна стать короче, а самое главное — толще.

Так вот: во сколько раз она станет толще?

— Поскольку уравнение гиперболы дает для игрека величины, обратные иксу, то ясно, что для абсциссы «один» мы и ординату получаем «один», а для абсциссы «три» мы получаем «одну третью». Опираясь на уравнение гиперболы, я утверждаю, что наша полоска должна, если ее перенести от абсциссы «один» к абсциссе «три», стать толще в три раза, ибо одна треть в три раза меньше единицы. По-моему, иначе быть не может.

Немедленно тончайшая ртутная ниточка сложилась втрое и быстро двинулась направо. Действительно, когда она добралась до абсциссы «три», она стала той длины, какой в этом месте была ордината гиперболы.

— 368 —

— Ясно, — сказал Илюша.

— А далее, — спросил Радикс, — если взять еще одну тончайшую полоску, которая будет стоять рядом с первой, то с ней что будет?

— Я не могу сообразить сразу, как это будет, — отвечал мальчик, — но мне кажется, что если бы мы взяли целый полк тончайших полосок и стали их так перемещать…

Площадь.

— А ведь когда я перемещал целый трапецоид, я именно это и делал! — заметил Радикс.

— Ах да! — спохватился Илюша. — Разумеется. Но я уж буду пока по-своему рассуждать. Итак, ты перемещаешь, скажем, две полоски, они стоят рядом… а стало быть, если первая, сложившись втрое, попадет в абсциссу «три», то ведь и вторая полоска очутится на расстоянии втрое более дальнем, а следовательно, и ей придется сложиться опять-таки втрое. А если это так, то очевидно, что и любая (то есть третья, четвертая, пятая и так далее) полоска тоже должна будет потолстеть при таком перемещении ровно втрое. А тогда и все они вместе, то есть вся площадь трапецоида, тоже должны будут стать втрое толще. И теперь понятно, почему ртуть заняла площадь от «трех» до «шести» по абсциссе.

124