Волшебный двурог - Страница 114

114

— 338 —

тель. Самые споры но этим вопросам нередко заходили в тупик, ибо спорящие плохо понимали друг друга. Галилея, например, упрекали в том, что он «не знает» или «не хочет знать» того, что говорили по вопросам физики древние поэты и философы, и Галилею приходилось с большим трудом втолковывать своим критикам, что он вовсе не «не знает» того, что говорили Вергилий, Лукреций или Сенека, а спорит с ними, утверждая, что они в данном случае ошибались и что это можно доказать на опыте. Но когда вопрос о скорости облекся наконец в математическую форму, то немедленно проблема изучения скорости движения в природе стала задачей изучения скорости изменения ординат кривых. Одним из первых ученых, кто занимался этим, был Торричелли. Вот почему вопрос о методе касательных приобрел такую исключительную важность. Люди и раньше, конечно, знали, что пропорциональная зависимость между двумя величинами наблюдается не всегда. И только работы Галилея впервые показали, как именно в случае падения осуществляется зависимость между временем и пройденным расстоянием, а кроме того, впервые был получен и точно сформулирован закон связи двух переменных величин, более сложный, чем тройное правило и пропорциональная зависимость.

— А что же тут такого? — спросил Илюша. — Не понимаю, почему нельзя рассуждать об изменении явлений, исходя из простой пропорциональности, если это всякому понятно?

— Дело не в том, что нам «понятно», — продолжал Радикс, — и какого мы «мнения» о явлениях, а в том, каковы законы этих явлений! А ведь они существуют сами по себе, мы можем только изучать их, но не навязывать явлениям наши «мнения». Мне достаточно того, что я устанавливаю, что в природе имеются не только зависимости пропорционального характера. Хорошо, если ты можешь сразу ответить на вопрос «почему?». А ведь есть немало случаев, когда это не так легко сделать. Например, на лодке установлен моторчик в 1,25 лошадиной силы, и лодка идет со скоростью восемь километров в час. Можно ли утверждать, что если я поставлю на эту лодку мотор в десять сил, то лодка помчится, как скорый поезд, и будет делать шестьдесят четыре километра в час? Нет, этого утверждать нельзя. Чтобы увеличить скорость в n раз, надо мощность увеличить примерно в n раз, а чтобы достичь такой скорости, придется обзавестись мотором не в десять, а в шестьсот сорок сил, тогда как десятисильный мотор даст только удвоенную скорость. Еще пример: ты без всякого труда можешь закинуть спортивный диск весом в восемьсот граммов на восемнадцать шагов. Но можно ли из этого вывести, что более легкий диск, в двадцать граммов весом, ты закинешь со-

— 339 —

гласно тройному правилу на семьсот двадцать шагов, то есть без малого на полкилометра? Разумеется, это сплошная ахинея, ибо такой очень легкий предмет далеко не забросишь, а уж о полкилометре смешно и говорить даже. Нередко исследователь вовсе и не задается вопросом «почему?». Очень хорошо, если он может ответить на вопрос «как?». Мы не знаем, что такое тяготение, но отлично знаем, как оно действует, и поэтому можем вычислить и траекторию артиллерийского снаряда, и толщину фундамента для большого здания, и многое другое. На этот вопрос Галилей дал совершенно точный ответ для случая падения тел. Надо еще принять во внимание то, что открытия Кеплера и Галилея связали воедино механику с геометрией, то есть как раз такие две науки, которые греки как бы противопоставляли одну другой. А вскоре выяснилось, что метод касательных имеет непосредственное отношение к бесконечно малым.

— Вот как! — сказал Илюша. — Как же это получилось?

— Дело вот в чем, — отвечал Радикс. — Давай-ка нарисуем кривую и проведем секущую. Она пересечет кривую на чертеже два раза — в точках А и Б. Дальше мы будем рассуждать так. Наша кривая связывает две величины — х и у. Их мы будем называть переменными: икс — независимой переменной, а игрек — зависимой. Ведь действительно, вспомни, как мы подставляли в уравнения различные произвольные значения икса и следили за изменением игрека. Значит, в самом деле игрек изменяется в зависимости от икса. Или, как принято говорить, игрек есть функция икса.

Если заставить точку В двигаться по кривой АВ к точке А, то секущая ABF, поворачиваясь около точки А, будет приближаться к некоторому предельному положению, когда бесконечно малое расстояние между точками А и С обратится в нуль; в этот миг секущая превратится в касательную.

Теперь заметим, что в точке А икс равен, допустим, некоторой величине х, а игрек соответственно равен у. Теперь увеличим немного икс, то есть дадим ему некоторое приращение. Тогда икс, соответственный точке В, будет равен х, а игрек соответственно у. Приращение икса будет равно x— x; приращение игрека y — y — Проведем теперь секущую через точки

— 340 —

А и В. Если теперь поворачивать секущую около точки А по часовой стрелке, то в пределе она станет касательной. Построим треугольник ABC и рассмотрим, что с ним будет делаться, если поворачивать секущую около точки В. Очевидно, стороны треугольника убывают.

tg α называется производной «ординаты кривой по абсциссе» в точке с абсциссой x

114