Волшебный двурог - Страница 107

107

— Конечно. Над входом в одну греческую академию было написано: «Да не входит сюда никто, кто не знает геометрии!»

— А как Демокрит решил эту задачу?

— Решил он ее вот как. Он предположил, что конус можно весь разрезать на очень тоненькие кружочки, если резать параллельно основанию, то есть на цилиндрики с очень малой высотой. Правило, по которому изменяется диаметр кружков, вывести не очень трудно. Мы этого пока еще делать не будем, так как сейчас речь не о выводе формулы, а о способе рассуждения, с помощью которого ее можно вывести. Теперь допустим, что цилиндриков не только очень много и толщина их ничтожно мала, но что число их безгранично увеличивается, а толщина тем же порядком уменьшается. Конус заменяется ступенчатой фигурой из кружков. Конечно, это ступенчатое тело не есть конус, но чем дальше я буду уменьшать толщину кружков, которых будет накопляться все больше и больше,

— 316 —

тем меньше это ступенчатое тело будет отличаться от конуса.

Допустим, что высота конуса равна 500 мм, а цилиндрики, на которые его режем, сделаны из бумаги, толщина которой примерно равна 0,05 мм, следовательно, всего в конусе их будет десять тысяч. Вряд ли такой конус, склеенный из десяти тысяч листов бумаги, можно отличить от сделанного, скажем, из гипса. А так как объемы цилиндров определить нетрудно, то таким путем мы определим и объем конуса.

Конус разбивается на маленькие цилиндры.

— Что-то я плохо понимаю, — грустно сказал Илюша.

— Ничего! Не падай духом! Слушан хорошенько и понемногу поймешь, — подбодрил его Радикс. — Ясно, что когда я заменяю маленький усеченный конус маленьким цилиндром, то делаю ошибку. Но эта ошибка, вычисленная в процентном отношении к измеряемой величине (так называемая «относительная ошибка»), будет сколь угодно мала. Ведь можно взять настолько тонкие кружки, что объем, которым я пренебрегаю, составит, например, менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к объему конусика (или цилиндрика; считай как хочешь, это неважно). Но раз это так, то нетрудно сообразить, что если суммировать цилиндрики, то и искомый объем большого конуса тоже будет с той же относительной ошибкой, то есть менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к истинному объему. Следишь ли ты за развитием моего рассуждения?

Усеченный конус и цилиндр.

— Да-да! — ответил поспешно мальчик. — Слежу и пока, кажется, все понимаю.

— Приятно слышать. Ну, слушай далее! Итак, если конус высотой в метр делить на кружки, толщина которых равна одному микрону, то есть тысячной доле миллиметра, то велика ли — опять-таки в процентах! — будет разница между объемом кружка и объемом усеченного конусика, на которые делится конус, если действовать совершенно точно?

— Нет, — ответил Илюша. — Раз каждый кружок будет толщиной в микрон, то наверно разницу-то и заметить будет невозможно.

— Справедливо, — отвечал Асимптотос. — Но ведь у нас нет надобности резать на самом деле конус на кружки, нам достаточно только вообразить это, ибо мы это делаем только для рассуждения, а если так, то никто не мешает нам допустить, что мы будем разрезать каждый кружок в тысячную долю миллиметра толщиной еще на миллион сверхтончайших кружков. Как ты тогда обнаружишь разницу между объемом кружка и элементарного усеченного конусика? А ведь в рассуждении я могу повторять мое деление на миллион еще любое число раз. Этот метод деления объема на крайне малые объемы

— 317 —

назывался в древности «методом исчерпания», ибо такими крохотными объемами мы как бы «исчерпываем» данный объем.

— Значит, — сказал Илюша, — мы будем все делить и делить, и «высота-толщина» цилиндрика-кружка будет изменяться…

— Как и полагается переменной величине! — сообщил многозначительно Радикс.

— Ну да, — отвечал Илюша, — конечно, если она все время меняется, то ясно, что это величина переменная. И так она изменяется, уменьшаясь и приближаясь, — я думаю, здесь можно сказать — к некоторому пределу?

— Разумеется, — отвечал Асимптотос, — так сказать не только можно, но даже и должно. Но вот вопрос: к какому именно пределу стремится эта твоя «высота-толщина»?

— Мне кажется, — осторожно произнес Илюша, — что если она будет уменьшаться все больше и больше, то естественно, что пределом ее будет нуль.

— А мы уже говорили в Схолии Двенадцатой, — заметил Радикс, — что если переменная величина имеет своим пределом нуль, то мы называем ее бесконечно малой. А это обозначает, что какое бы малое положительное число ни задать, в течение ее изменений наступит момент, начиная с которого ее абсолютная величина станет и будет оставаться меньше этого числа.

— Это я понимаю, — отвечал Илюша. — Но ведь это еще не все. А что же делается в это время с числом кружков-цилиндриков?.. Мне кажется, что число их в это время растет безгранично.

— Разумеется. Однако не забудь о том, что я собираюсь получить при помощи такого деления на кружки вовсе не приближенный объем конуса, а совершенно точный! Ведь мы действительно убедились с тобой, что в процентном отношении к искомому объему разница может быть сделана сколь угодно малой, если мы будем уменьшать толщину цилиндриков. Убедились мы также и в том, что если в каждом слагаемом мы сделаем ошибку меньше тысячной процента, то при вычислении всей суммы общая ошибка не может превысить того же самого процентного отношения. Не так ли? Тебе все здесь ясно?

107